惯性系、非惯性系

定义：

惯性系：牛顿运动定律在其中能严格成立的参考系，简称惯性系。相对于惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。

非惯性系：不是惯性参考系的参考系，即牛顿三大定律不都成立的参考系。

可以证明，所有与惯性参考系没有相对加速度（即相对静止或匀速直线运动）的参考系还是惯性参考系。非惯性系也可以定义为与惯性参考系有相对加速度的参考系。在非惯性系中，牛顿第一和第二定律不成立。

惯性力

在惯性参考系中，我们可以用牛顿三大定律研究物体的运动，但在非惯性系中，牛顿第一、第二定律都不成立了，那我们还有没有办法研究物体的运动呢？

我们考虑惯性参考系OO和非惯性系O′O'。根据先前的分析，O′O'相对于OO应具有加速度aO′O⃗\vec{a_{O'O}}。假设具有质量mm的质点AA在OO系中受到了合外力F⃗\vec{F}，具有加速度aAO⃗\vec{a_{AO}}。根据牛顿定律，有

F⃗=maAO⃗\vec{F}=m\vec{a_{AO}}

而在宏观低速的前提下，根据伽利略变换，

aAO⃗=aO′O⃗+aAO′⃗\vec{a_{AO}}=\vec{a_{O'O}}+\vec{a_{AO'}}

F⃗=m(aO′O⃗+aAO′⃗)\vec{F}=m(\vec{a_{O'O}}+\vec{a_{AO'}})

F⃗−maO′O⃗=maAO′⃗\vec{F}-m\vec{a_{O'O}}=m\vec{a_{AO'}}

如果我们引入一个假想的力F′⃗=−maO′O⃗\vec{F'}=-m\vec{a_{O'O}}
那么上式可以改写为

F⃗+F′⃗=maAO′⃗\vec{F}+\vec{F'}=m\vec{a_{AO'}}

这看上去简直和牛顿第二定律的形式一模一样了!😂这简直太令人兴奋了！

所以当我们在一个非惯性系中考虑动力学问题时，我们总可以加上一个惯性力，使得我们的问题变成一个可以使用牛顿定律解决的问题。可见，惯性力是一个在非惯性系下对牛顿定律的修正。

但这个修正其实是可疑的甚至是奇怪的。为什么有的参考系不用修正，而有的参考系要修正？这是否暗示着存在一个绝对静止的参考系，以至于所有相对于它有加速度的参考系都需要修正，而其余的则能使牛顿定律成立？这简直与认为地球是宇宙的中心有异曲同工之妙！这一直以来是牛顿力学的一个巨大漏洞。有人想像了一种绝对静止的参考系“以太系”来解决这个问题；然而，后来通过实验证明了以太系并不存在，这完全导致了狭义相对论的提出。

科里奥利力

每一个参考系都依赖一个坐标原点和一些基向量而存在。我们现在考虑三维空间中，直角坐标系的情况。

如果这个非惯性系的基向量不在旋转，那么求惯性力是十分容易的。只需利用以下公式：

F′⃗=−maO′O⃗\vec{F'}=-m\vec{a_{O'O}}

其中，F′⃗\vec{F'}是质量为mm的物体受到的惯性力

但如果这个非惯性系的基向量是在旋转的，那末事情就有趣起来了。因为基向量的旋转aAO⃗=aO′O⃗+aAO′⃗\vec{a_{AO}}=\vec{a_{O'O}}+\vec{a_{AO'}}不再成立。但如果，我们能找到一个加速度a′⃗\vec{a'},使得：

aAO⃗=a′⃗+aAO′⃗\vec{a_{AO}}=\vec{a'}+\vec{a_{AO'}}

那末我们仍然可以有：

F′⃗=−ma′⃗\vec{F'}=-m\vec{a'}

所以，我们的任务变成了求这个a′⃗\vec{a'}

这个过程并不困难。
不失一般性，我们假设OO、O′O'两系的zz轴平行，O′O'系的剩余两个基向量i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j}正以相等的角速度绕zz轴旋转。

在这种情况下，O′O'系中的基向量i⃗\vec{i}和j⃗\vec{j}会随时间变化。设O′O'系相对于OO系绕zz轴的角速度为ω⃗\vec{\omega}，则基向量的变化可以表示为：

di⃗dt=ω⃗×i⃗,dj⃗dt=ω⃗×j⃗\frac{d\vec{i}}{dt} = \vec{\omega} \times \vec{i}, \quad \frac{d\vec{j}}{dt} = \vec{\omega} \times \vec{j}

(dr⃗dt)O=(d(x′i⃗+y′j⃗+z′k⃗)dt)O=dr⃗dt=dx′dti⃗+dy′dtj⃗+dz′dtk⃗+x′ω⃗×i⃗+y′ω⃗×j⃗\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)_O = \left(\frac{d(x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k})}{dt}\right)_{O} =\frac{d\vec{r}}{dt}= \frac{dx'}{dt}\vec{i}+\frac{dy'}{dt}\vec{j}+\frac{dz'}{dt}\vec{k} +x'\vec{\omega} \times \vec{i}+y'\vec{\omega} \times \vec{j}

即：

(dr⃗dt)O=(dr⃗dt)O′+ω⃗×r⃗\left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)_O = \left(\frac{d\vec{r}}{dt}\right)_{O'} + \vec{\omega} \times \vec{r}

对上式再次求导数，质点AA的加速度aAO⃗\vec{a_{AO}}可以写为：

aAO⃗=aAO′⃗+2ω⃗×vO′⃗+ω⃗×(ω⃗×r⃗)+dω⃗dt×r⃗\vec{a_{AO}} = \vec{a_{AO'}} + 2\vec{\omega} \times \vec{v_{O'}} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) + \frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}

其中：

  • aAO′⃗\vec{a_{AO'}} 是质点相对于O′O'系的加速度；
  • 2ω⃗×vO′⃗2\vec{\omega} \times \vec{v_{O'}} 是科里奥利加速度；
  • ω⃗×(ω⃗×r⃗)\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) 是离心加速度；
  • dω⃗dt×r⃗\frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r} 是欧拉加速度。

由此可见，在旋转参考系中，惯性力可以分解为以下几部分：

  1. 离心力：

F⃗=−mω⃗×(ω⃗×r⃗)\vec{F} = -m\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})

  1. 科里奥利力：

F⃗=−2mω⃗×vO′⃗\vec{F} = -2m\vec{\omega} \times \vec{v_{O'}}

  1. 欧拉力：

F⃗=−mdω⃗dt×r⃗\vec{F} = -m\frac{d\vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}

这些力的引入使得我们可以在非惯性系中继续使用牛顿定律来研究物体的运动。

总结

非惯性系中的惯性力是为了修正牛顿定律而引入的假想力。它们的存在并不意味着真实的物理作用力，而是由于参考系的加速度或旋转导致的“虚拟力”。通过引入惯性力，我们可以将非惯性系中的动力学问题转化为惯性系中的形式，从而简化分析。

惯性力的研究不仅在经典力学中具有重要意义，在现代物理学中也为理解复杂系统（如地球自转引起的科里奥利效应）提供了重要的理论基础。